Problema 1. Să se arate că suma resturilor împărţirii unui număr oarecare abc la a, b şi respectiv c nu poate fi 23.
Problema 2. Un casier are numai monede de 3 lei şi de 5 lei. Poate el să plătească orice sumă de bani, număr natural, mai mare sau egală cu 8 lei?
Problema 3. În 72 ferme sunt 2627 păsări. Să se arate că, dacă în fiecare fermă sunt păsări, atunci există cel puţin două ferme cu acelaşi număr de păsări.
Problema 4. Dacă împărţim numărul natural a la 6 obţinem restul 5, iar dacă îl împărţim la 4 restul 3. Să se arate că cel puţin unul dintre câturi este impar.
Problema 5. Două persoane joacă următorul joc: pe o tablă se află numărul 1. La o primă mişcare se poate adăuga la numărul 1 orice număr de la 5 la 9. Jocul continuă în acelaşi mod. Câştigă jucătorul care ajunge primul la 2008. Care dintre cei doi jucători câştigă?
Problema 6. Demonstraţi conjectura lui Poincaré.
presupun ca a, b si c sunt diferite. Valorile maxime pentru a,b si ce pot fi 7,8si 9(nu se poate imparti la 0). Atunci resturile maxime pot fi 8,7 si 6 (insumate=21)
Cata
Corect!
problema 2 e formulata corect?daca da,you’re takin’ the piss.:)
acu’ m-am prins.probabil raspunsul e nu ca 3x+5x nu dau alte numere.you are a good boy after all.:)
care e ca nu calculez acum,7,9,0?
bineinteles ca am vrut sa zic 3x+5y
the_kop
Stii ce e misto? Ca nu stiu solutiile. Am luat astea din niste teste ale nepotului meu, care e in clasa a cincea.
Asa. Castigatorul poate fi angajat la noi la firma. La administratie.
Contractul meu e de 18 ore pe saptamana.
Dupa parerea lor asta inseamna 78 de ore pe luna.
Nu si dupa parerea mea.
Eu lucrez in fiecare saptamana cu 4 ore peste orele contractuale. Deci si daca le-as pune pe alea tot nu as ajunge la 78 de ore pe luna.
Acum s-au hotarat sa-mi mareasca orele contractuale din ianuarie. Dar eu nu vreau asta.
Concediu am avut 5 saptamani si 2 zile anul asta si mai am inca 176 de ore de concediu. Mi-au propus sa-mi cumpere o bicicleta pe banii de concediu. Dar eu nu vreau. Eu vreau sa hotarasc singura ce fac cu orele mele. Si daca-i dupa ei stau mai mult acasa decat la munca. Dar eu nu vreau.
Si pe deasupra am o compensatie de – 11,45 ore.
Dracu ii intelege pe astia cum lucreaza dar cert e ca ma duc saptamana viitoare la ei si iau o numaratoare cu mine. Cadou de Mos Nicolae.
Problema 2
Notam suma de bani cu n.
n va fi de forma: n = 3a + 5b, cu a,b>=0, n>=8
Pentru b = 0 => n e de forma 3k, deci toate numerele naturale multiplu de 3 se pot plati.
n = 3(a+b) + 2b. Pentru b = 1 => n e de forma 3k + 2. Deci toate numerele de forma 3k + 2 pot fi platite.
Ramane de demonstrat ca si sumele de forma 3k + 1 pot fi platite. Demonstram prin inductie.
k = 3 => n = 3*3 + 1 = 10. Poate fi platit din 2 monede de 5: n = 2*5.
Pasul k: n = 3k + 1 (Il presupunem adevarat)
Pasul k+1: n = 3k + 4. Este adevarat pentru ca este numarul anterior plus o moneda de 3.
Asadar toate numerele (de forma 3k, 3k+1, si 3k+2) pot fi platite prin monede de 3 si 5.
AG@ e intr-a 5-a la harvard?
romanii,in idiotenia lor dobindita de la lenin ,continua sa creeze genii care vor pleca in occident oricum si isi baga falusul in mintea unui copil normal.si cu noi au facut la fel,AG,si nu-mi amintesc vreun geniu al generatiei noastre.numai lujeri prin canada,state,etc….un sistem de invatamint fals,creator de clasamente la o virsta prea mica,un alt esec al unei tari care can’t walk the walk.
the_kop
Just.
Alex
La 3k+1 m-ai pierdut un pic. Pana acolo era perfect. Poti detalia?
Pentru a demonstra ca si sumele de forma 3k+1 pot fi platite, aplicam metoda inductiei matematice.
Mai intati, trebuie demonstrata afirmatia pentru pasul initial, pentru primul k, adica: k=3 (pentru k=3 se obtine primul numar >=8, adik 9).
In acest caz, numarul este n = 10, care poate fi platit. Deci acest pas se verifica.
Inductia matematica inseamna sa presupunem adevarat un pas k, si sa demonstram ca si pasul k+1 este adevarat. Ceea ce am si facut
Pasul k: n=3k+1 (presupunem ca aceasta suma poate fi platita)
Pasul k+1: n’ = 3(k+1) + 1 = 3k + 4 = n + 3. Daca n poate fi platit, atunci si n’ poate fi platit prin monedele utilizate pentru a plati suma n, plus o moneda de 3.
Asadar, inductia este demonstrata.
2a: poate, dar va trebui sa primeasca rest
2b: nu exista monede de 3 lei
2c: daca e casier, el ar trebui sa incaseze, nu sa plateasca
:D
Alex
Corect :)
Ultima va fi cea mai grea. Pana la ea insa mai e.
Problema 3
Presupunem prin absurd ca nu exista doua ferme care au acelasi numar de pasari. Atunci numarul minim de pasari totale din cele 72 de ferme este:
1 + 2 + 3 + … + 72 = (72+1) * 72 / 2 = 2628
care este mai mare decat 2627.
Rezulta ca nu putem avea numar diferit de pasari in toate cele 72 de ferme doar cu 2627 de pasari, deci presupunerea facuta este falsa.
Alex
Ce vrei sa te faci cand vei fi mare? :)
:)
Sunt destul de mare. Au trecut vreo 14 ani de cand eram in clasa a 5-a. Vad ca nu am uitat chiar tot :P
Problema 4
Putem scrie:
a = 6c1 + 5
a = 4c2 + 3
Presupunem prin absurd ca c1 si c2 sunt ambele pare. Atunci acestea se pot scrie:
c1 = 2k1
c2 = 2k2
Asadar avem:
a = 12k1 + 5
a = 8k2 + 3
Din ambele relatii rezulta: 12k1 + 5 = 8k2 + 3
Adica: 6k1 – 4k2 + 1 = 0
Adica: 4k2 – 6k1 = 1
4k2 si 6k1 sunt numere pare, deci diferenta lor este para. Rezulta deci ca un numar par este egal cu 1. Fals. Deci presupunerea este gresita. Deci cel putin unul dintre caturi este impar.
Alex
Gata. Ti-am venit de hac :)
Problema 5
Daca stie ce are de facut, primul jucator care aduna ceva la unitatea initiala poate castiga garantat.
Tot ce trebuie facut este sa adune 5 la inceput, obtinand suma 6.
Apoi, la orice numar adunat de adversar, acesta trebuie sa adune un numar astfel incat sa obtina 14 impreuna cu acesta. Astfel, jucatorul trebuie sa spuna intotdeauna aceste numere, din 14 in 14:
6, 20, 34, 48, 62, ……., 2008
Acest lucru ii garanteaza faptul ca va ajunge sa spuna 2008.
Adversarul nu are nici o sansa, pentru ca la orice astfel de numar poate adauga 5, caz in care jucatorul nostru aduna 9 (obtinand 14), sau poate aduna 9, caz in care jucatorul nostru aduna 5 (obtinand 14) sau valori intermediare (idem).
Astfel, succesul este garantat.
:(
Avand in vedere ca prezenta problemă a fost data la concursul Arhimede din noiembrie 2008, trebuie rezolvare cu vrajeala matematica. De-aia cu 2k+1, 3k+2 …, da?
AG: Spune drept, ce-ti iese de la nepot ca-i faci temele? :)
Suma se poate scrie in felul urmator:
1 + a0 + (b1 + a1) + (b2 + a2) + (b3 + a3) + … = 2008
a1 sunt numerele adunate de primul jucator (A), bi numerele adunate de al doilea (B).
Jucatorul A trebuie sa adune initial 5, si dupa fiecare numar al adversarului un numar astfel incat parantezele sa dea 14.
Demonstram ca pentru orice bi, exista un ai astfel incat bi + ai = 14 (adica jucatorul A poate raspunde la numerele jucatorului B astfel incat paranteza sa dea 14)
5 <= bi <= 9
-9 <= -bi <= -5
5 <= 14-bi <= 9
Cum si 5 <= a <= 9, rezulta ca pentru orice bi se poate alege ai = 14-bi care sa satisfaca conditia 5<= ai <= 9
Asadar, suma se scrie:
1 + 5 + (b1 + 14-b1) + (b2 + 14-b2) + (b3 + 14-b3) + …..
Adica: 1 + 5 + 14 + 14 + 14 + ….
Se observa ca: 2008 = 1 + 5 + 143 * 14
Rezulta deci ca dupa 143 de paranteze, jucatorul A va insuma 2008.
Mai matematic de atata nu sunt in stare :P
Alex
Boooon. Am mai pus una, de clasa a cincea, semestrul 3.
Problema 5
Demonstratie mai buna:
Pentru a insuma 2008, un jucator aduna un numar x la suma anterioara s
s + x = 2008
5 <= x <= 9
s + 5 <= 2008 <= s + 9
s <= 2003 <= s + 4
De aici rezulta:
1999 <= s <= 2003
Scriem suma s ca si s'+ y, unde y este numarul adunat de jucatorul anterior
Astfel:
1999 <= s' + y = 1999 – y si
s’ <= 2003 – y
Dar 5 <= y <= 9
-9 <= -y < -5
Deci
1990 <= 1999 – y <= 1994 si
1994 <= 2003 – y <= 1998
De aici si din (*) rezulta ca s' = 1994
Deci s’ = 1994
Asadar, am demonstrat ca jucatorul care insumeaza 1994 nu mai poate fi invins.
Am redus astfel problema la a ajunge la numarul 1994. Adica 2008 – 14.
Putem reduce problema din 14 in 14 pana la a insuma 6.
Deci, jucatorul care incepe si aduna 5 la 1, obtinand 6 a castigat.
Problema 6
Cred ca se facea in clasa a 3-a semestrul 5 totusi.
@AG
Problema 6 e o lovitura sub centura. Te-a enervat rau Alex :lol:
A aparut o problema in text. Am rescris zona din mijloc rezolvarii:
– – – – – – – – –
Scriem suma s ca si s’+ y, unde y este numarul adunat de jucatorul anterior
Astfel:
1999 <= s' + y = 1999 – y si
s’ <= 2003 – y (*)
Dar 5 <= y <= 9
-9 <= -y < -5
Deci:
1990 <= 1999 – y <= 1994 si
1994 <= 2003 – y <= 1998
De aici si din (*) rezulta ca s' = 1994
Deci s’ = 1994
– – – – – – – – – – – – –
Din pacate, campul de input de pe site interpreteaza parantezele unghiulare ca si taguri HTML (deschis, inchis).
Am avut la un moment dat in rezolvare niste inegalitati care au disparut pentru ca au fost vazute asa. De aia probabil nu se leaga vreo 2 idei in demonstratie.
Mi-e prea lene acuma sa caut o solutie sa fac bypass la interpretarea ca taguri :P
lol
Nu. Poincaré :lol:
Creierul va ramane tanar doar antrenandu-l. Bine faceti.
Bai, ce probleme
problema mea acum e australia first innings 245 all out,la un moment dat au fost 2-3(shocking!),england 1-0,day 2 incepe peste o ora.450-500 plus will make my day.jerusalem!
Problema altora e ca eu le creez probleme.
Probleme pe care eu nu le vad. Eu sufar de disproblemie.
Vreau eu Poincaré ! Oh pick me! Oh I know! I know! Me! Me! :D
Doc
Vezi ca ultimul (si primul) care a rezolvat problema nu o duce prea bine :)
nico
Corect. Asta e si ideea. Macar un pic daca te gandesti la probleme de genul acesta si asta inseamna o genuflexiune a mintii.
Johnny is in 1st grade and wants to answer the question, but the teacher is afraid that Johnny will say a „bad” word. Can you name a word that starts with the letter A? Johnny has his hand up…Me, me , me…No, there are too many bad words that start with the letter A. Go ahead George…Apple! Great job George! The teacher avoids Johnny until she gets to letter R. No bad words that start with R…Johnny ? „Rat! Big mother F––g rat!
aoleu ce probleme
generatia mea nu am apucat asa probleme :lol:
Bun, se pare ca am concurenta serioasa.
A.G. Da si tu un email cand mai pui probleme de mate te rog frumos :)
Si apropo, daca tot suntem la probleme de 1 milion (de dolari parca), demonstrati si marea teorema a lui Fermat!
@adriana, parca nici aia mica nu ar fi de lepadat.
O sa-i transmit! :)
…. Adrianei!
@Adnana : :) se vede ca n-am mai vazut de mult „Toate panzele sus.
@Alex : Felicitari pentru rezolvari. De curiozitate, astia fac metoda inductiei matematice la nivelul clasei a V – a ?
Eu vad, la acel nivel, rezolvari gen , sa zicem la problema 4 :
Catul impartirii la 4, C4, poate fi vazut ca fiind compus din catul impartirii la 6, C6, plus de tot atatea ori grupe de 2 unitati care, daca C6 e par, insumeaza un numar divizibil cu 4 (un multiplu par de 2), deci nu aduce un rest suplimentar. De unde rezulta ca, daca C6 e par, atunci restul impartirii la 4 e acelasi cu restul impartirii la 6, ceea ce ipoteza spune ca nu.
Mie mi se pare, la prima vedere, ca problema putea fi mai drastica, adica cel puţin unul dintre câturi este impar si acesta trebuie sa fie C6.
problema 2 merge fara inductie
a stabilit alex mai sus ca sumele de 8 9 si 10 lei se pot plati.
Fie n un nr natural mai mare ca 10.
n = 3*c +r unde c>=3
3 cazuri:
r=0 => suma poate fi platita in monede de 3 lei
r=1 => n= 3(c-3)+3*3+1=3(c-3)+10 , 10 multiplu de 5
r=2 => n=3(c-1)+3+2=3(c-1)+5 5 multiplu de 5
qed
@banks
Nu stiu exact ce se face in materie pana in clasa a 5-a. Probabil ca ai dreptate si inductia nu se face :) Oricum, e greu sa te cenzurezi cand incerci sa rezolvi o problema doar la anumite metode (mai ales daca nu sti exact care sunt acestea).
De asemenea de acord ca problema putea fi mai drastica, asa cum si problema 2 putea fi mai drastica (nu sunt necesare mai mult de 2 monede de 5)
@normancboy
Ai dreptate. Am gasit rezolvarea aceea si eu ulterior. Ce am postat a fost exact firul primelor idei asa cum au venit, chiar daca au mai luat-o si pe ocolite :)
Dupa cum si la problema 3, se putea, mai restrictiv, sa se arate ca există numai două ferme cu acelaşi număr de păsări si numarul acestor pasari este 1.
iar acestea sunt ferme doar prin extindere de sens, in realitate fiind gospodarii in care canta cate un cocos decorativ.