Trecem la geometrie.
Pe laturile unui triunghi se construiesc trei triunghiuri echilaterale. Demonstraţi că centrele de greutate ale acestor triunghiuri formează un triunghi echilateral.
Problema poartă numele de “Teorema lui Napoleon”.
Soluţie: Simplificand un pic figura, ne concentram asupra triunghiului DBC.
Aplicand acestuia o rotatie cu 30 grade in jurul punctului B obtinem un nou triunghi D’BC’ congruent cu acesta, care va avea ca laturi medianele corespunzatoare laturilor DA si CE in triunghiurile echilaterale ABD si BCE.
Cu alte cuvinte segmentul OM, una din laturile triunghiului lui Napoleon, are varfurile pe laturile BD’ si BC’, iar din motive de asemanare intre triunghiurile BOM si BD’C’ acest segment este paralel cu D’C’ si in plus lungimea lui este o fractiune din lungimea lui D’C’ egala cu (2/3)*cos(pi/6).
In plus de asta, observand ca triunghiurile DBC si ABE sunt congruente, rezulta ca DC si AE au aceeasi lungime. Extinzand rationamentul si la al treilea triunghi echilateral contruit pe latura AC rezulta ca:
DC=AE=BF
In concluzie segmentele OM, ON si MN au lungimi egale.
Sursa: aici. Mai jos există şi o altă soluţie.
Nu am innebunit. Trebuia sa egalez desenul cu randurile, altfel iesea din post :)
E atat de simpla incat nici nu ma mai apuc s-o demonstrez :lol:
Acum mi-am dat si eu seama cat de prost am fost la scoala: in loc sa stau sa fac demonstratii, puteam sa zic, simplu, „se vede cu ochiul liber” :D
Serios acum, are legatura cu faptul ca-ntr-un triunghi echilateral, mediatoarele laturilor sunt inaltimi, mediane si bisectoare. Se demonstreaza usor cu ajutorul unghiurilor.
lol
Eu as uni domeniile, ca tot traversam postmodernismul.
De pilda, retorica si geometria. „Dom profesor, demonstreaza mata ca nu e echilateral si dupa aia ma apuc eu sa demonstrez contrariul”.
Dar e buna si ideea ta. E ceva filosofic-abscons in formularea „Se demonstreaza usor cu ajutorul unghiurilor”.
lol
Cam cum ai incepe tu demonstratia? Asa, in mare :lol:
eu propun s-o facem in colectiv, ne mai ajutam unul pe altul, ca asta chiar e o problema de geometrie … din aia pt parinti, de va povesteam in postul precedent :)
Cred ca pinguilde a tulit-o la timp. E o mare arta sa stii cand sa dispari :D
AG
Uite o observatie care ar putea fi utila, desi nu stiu in ce masura.
Daca unim C cu D, B cu F si A cu E, avem urmatoarea situatie:
CD, BF si AE sunt concurente si in acelasi timp congruente. E o problema mai veche clasica, ce se demonstreaza cu egalitati de triunghiuri.
S-ar putea sa fi complicat problema insa poate fi un punct de plecare
Eu as incepe cu inceputul, bineinteles :D
Emiru
Avand in vedere ca e greu sa vorbim despre geometrie fara sa putem desena, vom uni imaginar acele puncte.
Asta nu impiedica pe nimeni sa deseneze pe un caiet problema si sa incerce sa-i dea de cap.
AG
tu jucai „biscuitele” la scoala? Cam asa arata desenul meu :lol:
Emiru
Eu am inventat „biscuitele”, numai ca, nestapanind prea bine limba romana, i-am zis „biscuitul” :)
Emiru
CD, BF si AE nu sunt insa toate congruente.
@AG
Chiar e de-a VI-a? Ca demonstratia gasita de mine e complicata rau :P
lol
Problema e de-a sasea, rezolvarea e de-a cincea.
sunt, AG, dar nu ajuta.
Ajuta in schimb teorema lui Pitagora generalizata, insa ajung intr-un punct in care folosesc trigonometria din liceu si nu mai e problema de a 6-a.
Bey, tu voiai putina liniste pe blog si ne-ai dat de lucru :lol:
Parca era mai frumos si mai antrenant cand ne dadeai probleme de sah
Hai sa inscriem cele 3 triunghiuri echilaterale in 3 cercuri.
Is that a good enough start for you? :P
o mica corectiune gramaticala pentru AG. nu se scrie cumva ‘ Dom profesor, demonstreaza ma-ta ca nu e echilateral…’ ?
the_kop
Just.
lol
Arata bine. Daca desenam si niste floricele in jurul punctelor A, B si C e si mai simpatic :D
Da, dom’le. Inscriem triunghiul ADB intr-un cerc, care are centrul in O. Si pe AFC intr-un cerc cu centrul in N. Cele doua cercuri se intersecteaza de doua ori: o data in pct. A, a doua oara intr-un punct X, sa zicem.
ADB + AXB = 180
ADB = 60, deci AXB = 120.
La fel, AXC = 120.
Rezulta ca BXC = 120. BXC + BEC = 180, rezulta ca si cercul circumscris triunghiului BCE se intersecteaza cu celelalte 2 in punctul X.
Corect pana acum? :D
singurul real triunghi echilateral pe care l-am intilnit vreodata a fost cum o veche iubita isi desena ingenios parul pubian…era 1983.peste 2 ani a devenit un dreptunghi ca un perciune de depesar si peste inca 2 primul meu gind zbura la sinead o’connor sau,beat,la telly savalas.
AG
uite cum as vedea eu o problema de matematica in ziua de azi:
Sa se calculeze distanta dintre Bordeaux si Sulina, stiind ca ambele localitati se afla pe paralela 45, Bordeaux fiind la 1 grd long W, iar Sulina la 29 grd long estica.
Se cunoaste lungimea ecuatorului L=40000km si se considera forma Pamantului ca fiind sferica.
probleme ancorate in realitate. Chestiile astea abstracte gen „Se iau 3 puncte, drepte sau plane” nu mai excita copiii din ziua de azi care au prea multe tentatii.
Evident ca e o problema banala, insa cam asa arata problemele de mate in Marea Britanie, spre exemplu.
Sau una de fizica:
Un portar degajeaza mingea sub un unghi ce face 45 de grade cu orizontala. Cu ce viteza trebuie sa expedieze mingea de la marginea careului de 6 metri, astfel incat aceasta sa atinga o data pamantull apoi sa loveasca transversala portii adverse.
Lungimea terenului 100m, Inaltimea portii = 2.5m.
The_Kop
Ciudat sa-ti zboare gandul la Telly Savalas in astfel de momente. Erai tare beat :)
Oricum, esti un tip fidel. In plus, baga sama ca ai vazut multe filme, ai ascultat multa muzica. Totusi, n-ai prins era in care era si Bugs Bunny pe-acolo.
lol
Cred ca e bine, dar nu bag mana in foc. Mai departe?
Emiru
Eu le-as rezolva intai pe cele clasice. Cum e asta :)
Cercul acela are centrul in M.
Acum, OB = OX, fiind raze de cerc.
MB = MX, la fel.
Deci BOXM e un romb, in care OM si BX sunt perpendiculare.
La fel, XNCM e romb, in care XC si NM sunt perpendiculare.
OANX romb, in care AX si ON sunt perpendiculare.
Si cum cele 3 unghiuri, AXB, AXC, BXC au fiecare 120, inseamna ca MON, ONM si OMN au fiecare 60, formand patrulatere in care 2 unghiuri au 90, iar al treilea 120.
360 – 120 – 90 – 90 = 60.
lol
Bun, sa zicem ca e asa. Ce arata asta?
Sper sa nu-mi ceri sa-ti demonstrez ca intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare :D
AG
Ca triunghiul OMN are fiecare unghi de 60. Nu-nseamna ca-i echilateral? :P
lol
Stai sa pun pe hartie.
bugs bunny poate nu AG. stiu ca-mi amintesc,insa,de niste super furry animals.
si ca ziceai de muzica in stilul tau trigonometric,simbata sint la barbican sa-l vad pe sonny rollins.are 80,inca 10 si se face dreptunghic.daca ciupesc ceva pe mobil bag aici,ai prioritate.
lol
Monser, romb e paralelogramul cu toate laturile egale.
lol
Minus chestia asta, se poate demonstra ca BX si OM sunt perpendiculare, la fel si celelalte doua.
lol
Deci, trebuie sa demonstrezi altfel ca BX si OM sunt perpendiculare, caci BOXM nu e romb :) Ceea ce nu e greu deloc.
In rest, cred ca e bine.
lol
sunt ele raze, insa cercurile sunt de raze diferite, asa ca nu sunt romburi, desi diagonalele alea s-ar putea sa fie perpendiculare. Trebuie demonstrat.
the_kop
I-ai vazut pe Hancock, Shorter, Holland si Blade in 2004 la Barbican? Ala e un concert de referinta pentru mine.
AG
Mda, nu e romb. Dar OBX fiind triunghi isoscel, bisectoarea unghiului format de cele 2 laturi egale e perpendiculara pe pe latura opusa.
Vrei demonstratie? :)
In asa-zisele romburi se pot vedea ca sunt triunghiuri congruente vazute in oglinda, ceea ce inseamna ca X e simetricul lui A fata de ON, deci AX perp pe ON
lol
Nu. Am zis ca e simplu de demonstrat. E OK, banuiesc. Pare in regula.
OBX = OXB
OBX + OXB + XOB = 180, deci 2 x OXB + XOB = 180, deci OXB = 90 – XOB/2
Hai ca am venit cu solutii asemanatoare, dar totul a plecat de la cercurile lui lol
AG
si-a facut Gazeta Matematica blog? De unde le culegi? :D
Da’ copiii de-a VI-a au invatat de cos? :P
@all
Noapte buna. Si… „Nu v-atingeti de cercurile mele” :lol:
lol
NB.
aoleu mama dar chiar e de a VI a ???? :lol:
mach o stiu din cap so fac :)):)) nu esti bun de nimic:)):)):)):)):)):)):)):))=))=0)=))=))=))….deci esti prost:|